有一些抽象的思维，马凤英未必能理解，但是张宇航乐在其中。张宇航跟马凤英说：“好，现在可以说是登堂入室了，以后就可以一窥其门径。”
张宇航说，接下来是一系列定义。
首先给出数列界限的定义：如果存在一个实数a，使得an小于等于a对一切n成立，则称an是有上界的，a是此数列的一个上界。类似地，也可以定义数列的下界。
定义：收敛数列是有界的。这个证法有点奇特。
假设极限是a。取e等于一，那么当n大于n时，ian减ai小于一。因为ian减ai大于等于iani减iai，那么可得iani小于iai加一。
可取m等于a1加a2加……加an加iai加一，那么显然iani小于m，所以an的上界就找到了。画个小框框。
张宇航指出，为什么要从a1加到an呢，就是为了保证m在n小于n时照样比an大，这是很普遍的一种凑数字的思想。马凤英提出异议，表示这种思想并不普遍，但张宇航没有理会。
张宇航接着说，定义一个子列的概念：设an是一个数列，k1小于k2小于k3小于……，那么数列akn可以看作an的一个子列。
那么下面就又有一个定理了：假设收敛数列an的极限是a，那么an的任何一个子列都收敛于a。
张宇航微微一笑，说证明也很简单：因为极限是a，所以可得对任意的e大于零，存在n，使得当n大于n时，有ian减ai小于e。
任取an的一个子列akn，令bn等于akn，由于kn大于等于n，n大于n，那么kn大于n，所以ibn减ai等于iakn减ai小于e，所以bn收敛于a。
张宇航语重心长地说，这个故事告诉我们，如果某个数列的两个子列收敛于不同的极限，那么这个数列一定是发散的。比如数列an等于（负一）（n减一）次方，那么取出这个数列的两个子数列，一个是一，一，一，……，一个是负一，负一，负一，……，显然，两个子列极限不同，所以原数列的发散的。
张宇航又想到一个难题。
证明：数列sinn是一个发散数列。
这个证法有一个技巧，叫做巧取区间。张宇航在黑板上写到：取一个sinn的子列sin（kn），假设kn属于区间（nπ加三分之π，nπ加三分之二π），画一下sin（kn）的图，由图中我们可以发现，sin（k一）小于sin（π加三分之π）等于负根号三/二，sin（k二）大于sin（二π加三分之π）等于根号三/二。以此类推，发现sin（kn）的所有奇数项都小于负根号三/二，所有偶数项都大于根号三/二，显然sin（kn）的两个子列极限不同，所以sin（kn）是个发散数列，因为sin（kn）是sin（n）的子列，那么显然sin（n）也是个发散数列。
证明完毕。张宇航被这个方法的巧妙性迷住了，不由得啧啧赞叹。马凤英一脸茫然，她从第一步就跟丢了。后面的过程再也没接上。
不过没关系，太阳出来了。